STRUKTUR ALJABAR

Komposisi Biner
Definisi:
S suatu himpunan tak kosong. Suatu komposisi biner (operasi tertutup “*”) dalam S adalah suatu pemetaan :SxSS. Suatu operasi “*” dalam S dikatakan tidak tertutup, jika ada x,yS, sedemikian sehingga x*y  S.

Contoh: Himpunan bilangan jam limaan dengan operasi + adalah tertutup (komposisi biner). Perlihatkanlah dengan daftar. Daftar seperti ini disebut Daftar Cayley.

Struktur Aljabar
Definisi:
Suatu himpunan tak kosong dengan satu komposisi biner atau lebih, disebut Struktur Aljabar.

Contoh:
• Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa; yakni [N,+]
• Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi + dan x biasa, yakni: [Z,+,x]
GRUPOID
Definisi:
Suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner, disebut grupoid.

Contoh:
• Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa.
• Himpunan bilangan riil dengan operasi x biasa.

Definisi:
[G,*] adalah grupoid dan e  G. Elemen e disebut unsur kesatuan kiri, jika e*x=x, x  G.

Definisi:
[G,*] adalah grupoid dan f  G. Elemen f disebut unsur kesatuan kanan, jika x*f=x, x  G.

Catatan:
Dapat terjadi suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari sebuah, unsur kesatuan kanan lebih dari sebuah, atau bahkan tidak memiliki unsur kesatuan kiri ataupun kanan.

Definisi:
Suatu grupoid [G,*] disebut komutatif jika x*y=y*x, x,y  G.

Contoh-contoh:
• [N,+] adalah grupoid komutatif tanpa unsur kesatuan.
• [N, x] adalah grupoid komutatif dengan unsur kesatuan= 1.
• Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks adalah grupoid yang tidak komutatif. Apakah unsur kesatuannya?

Teorema:
Jika suatu grupoid G memiliki unsur kesatuan kiri e dan unsur kesatuan kanan f, maka e = f dan G hanya memiliki satu unsur kesatuan saja, yang bertindak sebagai unsur kesatuan kiri dan kanan. Buktikan.

Akibat:
1. Jika suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari satu, maka ia tak memiliki unsur kesatuan kanan satupun.
2. Jika suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kanan lebih dari satu, maka ia tak memiliki unsur kesatuan kiri satupun.
(Buktikan)

Contoh-contoh:
• Himpunan matriks , x,y  R adalah grupoid dengan operasi perkalian matriks. Unsur kesatuan kirinya banyak, dan berbentuk .
• Himpunan matriks , x,y  R adalah grupoid dengan operasi perkalian matriks. Unsur kesatuan kanannya banyak, dan berbentuk .
• Himpunan matriks ordo mxn bilangan asli dengan operasi penjumlahan matriks adalah grupoid tanpa unsur kesatuan.

• Berikut ini adalah grupoid dengan unsur kesatuan kiri = c, tanpa unsur kesatuan kanan.
* a b c
a b c a
b c b a
c a b c

• Grupoid dengan unsur kesatuan kanan = b, tanpa unsur kesatuan kiri adalah:
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b

DAFTAR CAYLEY

Komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif), atau secara geometrik (daftar Cayley).
• Jika pada daftar Cayley suatu grupoid terdapat suatu baris yang sama dengan baris paling atas, maka unsur pada kolom paling kiri merupakan suatu unsur kesatuan kiri grupoid yang bersangkutan.
• Jika pada daftar Cayley suatu grupoid terdapat suatu kolom yang sama dengan dengan kolom paling kiri, maka unsur pada baris paling atas merupakan unsur kesatuan kanan grupoid yang bersangkutan.
• Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley adalah komutatif jika dan hanya jika daftar Cayleynya merupakan matriks yang simetris terhadap diagonal utama.
Contoh-contoh:
• Perhatikan bahwa grupoid berikut memiliki unsur kesatuan kiri=c, tanpa unsur kesatuan kanan.
* a b c
a b c a
b c b a
c a b c
• Perhatikan bahwa grupoid berikut mempunyai unsur kesatuan kanan=b, tanpa unsur kesatuan kiri.
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b
• Perhatikan bahwa grupoid berikut memiliki unsur kesatuan kiri yang banyak, yakni a, b, dan c; tanpa unsur kesatuan kanan.
* a b c
a a b c
b a b c
c a b c
• Berikut ini adalah grupoid yang komutatif.
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b
• Contoh berikut ini grupoid yang tidak komutatif.
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b
Contoh-contoh:
• Berikut ini operasi * yang tertutup.
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b

• Contoh berikut ini operasi * yang tidak tertutup.
* a b c
a b d c
b c b a
c a c b
• Himpunan bilangan asli dengan operasi + adalah tertutup.
• Himpunan bilangan asli dengan operasi - tidak tertutup.

Apakah ciri suatu grupoid dalam daftar Cayley tertutup?
Apakah ciri suatu grupoid dalam daftar Cayley tidak tertutup?

HUKUM PENCORETAN

Hukum Pencoretan
Definisi:
• Sebuah grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika ab=ac mengakibatkan b=c.
• Suatu grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika ba=ca mengakibatkan b=c.

Catatan:
Untuk grupoid komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan (mengapa?)

Contoh-contoh:
• Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus.
• Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks tidak memenuhi hukum pencoretan kiri, dan tidak memenuhi hukum pencoretan kanan. Mengapa?

Hukum Pencoretan dan Daftar Cayley
• Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum pencoretan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam daftar tersebut memuat unsur yang semuanya berbeda.
• Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum pencoretan kanan jika dan hanya jika setiap kolom dalam daftar tersebut memuat unsur-unsur yang semuanya berbeda.

Contoh-contoh:
• Perhatikan grupoid berikut. Memenuhi hukum pencoretan kiri, tetapi tidak memenuhi hukum pencoretan kanan.
* a b c
a a b c
b a b c
c a b c




• Grupoid berikut memenuhi hukum pencoretan kanan, tetapi tidak memenuhi hukum pencoretan kiri.
* a b c
a a a a
b b b b
c c c c
• Grupoid berikut memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus.
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b