PEMBELAJARAN KETERAMPILAN MEMBACA MATEMATIKA PADA SISWA SEKOLAH MENENGAH

PEMBELAJARAN
KETERAMPILAN MEMBACA MATEMATIKA
PADA SISWA SEKOLAH MENENGAH
Oleh:
Utari Sumarmo, FPMIPA UPI

Desember 2006
ABSTRAK

Artikel ini membahas beberapa pendekatan pembelajaran membaca matematika untuk siswa SM disertai dengan rasionalnya dan contoh pembelajaran yang relevan. Uraian didasarkan atas analisis terhadap: (1) karakteristik matematika: sebagai human activity; proses yang aktif, dinamik dan generatif; ilmu yang terstruktur dan deduktif; memiliki bahasa simbol dan kemampuan analisis kuantitatif, serta memuat proses induktif berdasarkan pengamatan terhadap sejumlah data; (2) visi pendidikan matematika masa kini dan masa datang; (3) keterampilan dasar matematika untuk siswa SM, (4) jenas keterampilan membaca matematika, (5) saran dan contoh pembelajaran keterampilan membaca matematika yang menumbuhkan berfikir dan disposisi matematik, Berdasarkan kedalaman tuntutan berfikir matematik yang termuat dalam teks yang dibaca, keterampilan membaca matematika dapat digolongkan pada dua tingkat yaitu tingkat rendah dan tingkat tinggi .
Istlah kunci: matematika sebagai: kegiatan manusia; proses matematika yang aktif, dinamik dan generatif; berfikir matematik tugas matematik, pemahaman, penalaran, pemecahan masalah, koneksi dan komunikasi matematik, analogi, generalisasi, problem posing, disposisi matematik; diskursus; scaffolding dan probing; literal reading, interpretative reading, critical reading, creative reading, membaca cepat (skimming dan scanning), membaca memindai (pemahanan), membaca ekstensif, tran4sactional reading strategy, SQ3R, think-talk-write, open-ended task, performance-assessment-task.
A. Pendahuluan
1. Hakekat Matematika dan Keterampilan Membaca Matematika
Pembahasan mengenai keterampilan membaca matematika memuat dua hal pokok, yaitu keterampilan membaca sebagai proses yang akan dikembangkan dan matematika itu sendiri sebagai obyek yang akan dibaca dan dipelajari. Dalam hal ini, keterampilan membaca tidak sekadar melafalkan kata demi kata atau kalimat demi kalimat tanpa arti, namun lebih dari itu, pembaca harus memahami makna yang dibacanya. Untuk memiliki keterampilan membaca matematika dengan baik, pembaca harus memahami hakekat matematika dengan baik
Terdapat beragam pengertian matematika, bergantung pada bagaimana seseorang memandang dan memanfaatkan matematika dalam kegiatan hidupnya. Apabila kita cermati, dalam kegiatan hidupnya setiap orang akan terlibat dengan matematika, baik dalam bentuk yang sederhana dan bersifat rutin dan mungkin dalam bentuknya yang sangat kompleks. Keadaan tersebut, di mana manusia selalu melibatkan matematika dalam kegiatan hidupnya, menggambarkan karakteristik matematika sebagai suatu kegiatan manusia atau “mathematics as a human activity”. Sejalan dengan sifat kegiatan manusia yang tidak statis, pandangan mathematics as a human activity memuat makna matematika sebagai suatu proses yang aktif, dinamik, dan generatif.
Karakteristik matematika lainnya adalah matematika sebagai bahasa yang memiliki sejumlah aturan dan istilah, seperti ekspresi (3 + 4x dan 56,2 – 1/5 ), kalimat (bentuk x = 2 dan bentuk 3x + y < 50). Sebagai bahasa, matematika merupakan bahasa yang khusus dengan sifat-sifatnya yang unik yang tidak terdapat pada bahasa lainnya. Berdasarkan
1
sifatnya yang unik, matematika mempunyai beberapa nama, misalnya matematika sebagai “extention language” atau matematika sebagai “formal language” atau sebagai “symbolic language” (Usiskin, dalam Elliott dan Kenney, 1996, h.231).
Seperti bahasa lainnya, matematika juga memiliki sejumlah: simbol (misalnya =, ~, ≅), dan istilah (misalnya circle, radius, elips, parabola, dan hiperbola). Keunggulan matematika dari bahasa lainnya, adalah matematika memiliki simbol, gambar, atau pola yang bersifat efisien dan padat makna. Keunggulan ini terlukis pada kutipan Baron (Sumarmo, 1987, h.35) dari A Mathematician Apology: “A Mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his are more permanent than theirs, it is because they are made of ideas”.
Karakteritik penting lainnya dari matematika adalah sifatnya yang menekankan pada proses deduktif yang memerlukan penalaran logis dan aksiomatik, yang mungkin diawali dengan proses induktif yang meliputi penyusunan konjektur, model matematika, analogi dan atau generalisasi, berdasarkan pengamatan terhadap sejumlah data. Karakteristik berikutnya, ditinjau dari segi susunan unsur-unsurnya, matematika dikenal pula sebagai ilmu yang terstruktur dan sistimatis dalam arti bagian-bagian matematika tersusun secara hierarkhis dan terjalin dalam hubungan fungsional yang erat, sifat keteraturan yang indah dan kemampuan analisis kuantitatif, yang akan membantu menghasilkan model matematika yang diperlukan dalam pemecahan masalah dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan dan masalah kehidupan sehari-hari. .
Uraian tentang karakteristik matematika di atas, memberikan implikasi sebagai berikut: (a) keterampilan membaca matematika merupakan proses yang aktif, dinamik, dan generatif, (b) kualitas keterampilan membaca matematika berkaitan dengan pemahaman terhadap simbol, gambar, dan atau pola matematika, pemahaman terhadap konsep matematika dan keterkaitannya, pemahaman terhadap sifat berfikir matematik yang induktif dan deduktif, serta pemahaman terhadap sifat keteraturan sususan unsur-unsurnya, (e) pengembangan keterampilan membaca matematika berkaian erat dengan pengembangan kemampuan berfikir matematik, atau kemampuan melaksanakan proses dan tugas matematik (doing math, mathematical task).
Ditinjau dari tuntutan kedalaman atau kekompleksan kegiatan matematik yang termuat dalam teks yang dibaca, keterampilan membaca matematik dapat digolongkan dalam dua jenis yaitu yang tingkat rendah (low order mathematical reading) dan yang tingkat tinggi (high order mathematical reading).. Sebagai contoh, membaca teks yang memuat operasi hitung sederhana, menerapkan rumus matematika secara langsung, mengikuti prosedur (algoritma) yang baku, tergolong pada jenis membaca matematika rutin atau tingkat rendah. Sedang membaca matematika yang memuat kemampuan memahami idea matematika secara lebih mendalam, mengamati data dan menggali idea yang tersirat, menyusun konjektur, analogi, dan generalisasi, menalar secara logik, menyelesaikan masalah (problem solving), berkomunikasi secara matematik; dan mengkaitkan idea matematik dengan kegiatan intelektual lainnya tergolong pada berfikir matematik yang non-rutin atau tingkat tinggi (high order mathematical reading).
2. Kompetensi Dasar Matematika Sekolah Menengah
Pembelajaran matematika mengacu pada prinsip siswa belajar aktif, dan “learning how to learn” yang rinciannya termuat dalam empat pilar pendidikan yaitu: (1) learning to know, (2) learning to do, (3) learning to be, dan (4) learning to live together. Kurikulum matematika sekolah memuat rincian topik, kemampuan dasar matematika, dan sikap yang
2
diharapkan dimiliki siswa pada tiap jenajng sekolah. Secara garis besar, kemampuan dasar matematika tersebut dapat diklasifikasikan dalam lima standar yaitu kemampuan: (1) mengenal, memahami dan menerapkan konsep, prosedur, prinsip dan idea matematika, (2) menyelesaikan masalah matematik (mathematical problem solving), (3) bernalar matematik (mathematical reasoning), (4) melakukan koneksi matematik (mathematical connection), dan (5) komunikasi matematik (mathematical communication). Adapun sikap yang harus dimiliki siswa di antaranya adalah sikap kritis dan cermat, obyektif dan terbuka, menghargai keindahan matematika, serta rasa ingin tahu dan senang belajar matematika. Sikap dan kebiasaan berfikir seperti di atas pada hakekatnya akan membentuk dan menumbuhkan disposisi matematik (mathematical disposition) yaitu keinginan, kesadaran dan dedikasi yang kuat pada diri siswa untuk belajar matematika dan melaksanakan berbagai kegiatan matematika.
Pengembangan keterampilan membaca matematika akan mendukung pengembangan kemampuan berfikir matematik, daya matematik, dan disposisi matematik. Ditinjau dari segi afektif, pemilikan daya dan disposisi matematik dan keterampilan membaca matematika yang tinggi pada siswa memberi peluang mereka mengembangkan rasa percaya diri, meningkatkan motif berprestasi, menghargai keindahan keteraturan matematika, dan menghargai pendapat yang berbeda sepanjang disertai dengan alasan yang rasional. Pengutamaan pengembangan daya dan disposisi, serta keterampilan membaca matematik menjadi semakin penting manakala dihubungkan dengan tuntutan kemajuan IPTEKS dan suasana bersaing yang semakin ketat terhadap lulusan tiap jenjang sekolah
Berikut ini disajikan beberapa indikator dari jenis-jenis kompetensi berfikir matematik yang dapat dikembangkan dalam membaca matematika untuk siswa SM.
1) Pemahaman Matematik
• Pemahaman mekanikal, instrumental, komputasional, dan knowing how to: melaksa-nakan perhitungan rutin, algoritmik, dan menerapkan rumus pada kasus serupa (pemahaman induktif)
• Pemahaman rasional, relasional, fungsional, dan knowing: membuktikan kebenaran, mengkaitkan satu konsep dengan konsep lainnya, mengerjakan kegiatan matematik secara sadar, dan memperkirakan suatu kebenaran tanpa ragu (pemahaman intuitif).
2) Pemecahan Masalah Matematik
• Mengidentifikasi unsur yang diketahui, yang ditanyakan, dan kecukupan unsur yang diperlukan
• Merumuskan masalah matematik atau menyusun model matematik
• Menerapkan strategi untuk menyelesaikan berbagai masalah (sejenis dan masalah baru) dalam atau di luar matematika
• Menjelaskan/menginterpretasikan hasil sesuai permasalahan asal
• Menggunakan matematika secara bermakna
3) Komunikasi Matematik atau Komunikasi dalam Matematika
• Menghubungkan benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam idea matematika
• Menjelaskan idea, situasi dan relasi matematik, secara lisan atau tulisan, dengan benda nyata, gambar, grafik dan aljabar
• Menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbol matematika
3
• Mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika
• Membaca presentasi matematika tertulis dan memyusun pertanyaan yang relevan
• Membuat konjektur, menyusun argumen, merumuskan definisi dan generalisasi
4) Penalaran Matematik atau Penalaran dalam Matematika
• Menarik kesimpulan logik, memberikan penjelasan dengan menggunakan model, fakta, sifat, dan hubungan
• Memperkirakan jawaban dan proses solusi, dan menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematik, menarik analogi dan generalisasi.
• Menyusun dan menguji konjektur, memberikan lawan contoh
• Mengikuti aturan inferensi; menyusun argumen yang valid, memeriksa validitas argumen
• Menyusun pembuktian langsung, pembuktian tak langsung, dan induksi matematik.
5) Koneksi Matematik atau Koneksi dalam Matematika
• Mencari dan memahami hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur
• Menggunakan matematika dalam bidang studi lain atau kehidupan sehari-hari
• Memahami representasi ekuivalen konsep atau prosedur yang sama
• Mencari koneksi satu prosedur ke prosedur lain dalam representasi yang ekuivalen
• Menggunakan koneksi antar topik matematika, dan antara topik matematika dengan topik lain
Apabila ditelaah lebih lanjut, berdasarkan indikator-indikator di atas, sangat mungkin satu tugas matematik tertentu dapat diklasifikasikan pada dua atau lebih standar kompetensi matematika, bergantung kepada subyek didik yang melakasanakan tugas itu.
B. Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika
Keterampilan membaca matematika merupakan satu bentuk kemampuan komunikasi matematik.dan mempunyai peran sentral dalam pembelajaran matematika. Melalui membaca siswa mengkonstruksi makna matematik (Siegel, Borasi, Ponzi, Sanrige, dan Smith dalam Elliot and Kenney, Eds., 1996, h. 66) sehingga siswa belajar bermakna secara aktif. Istilah membaca diartikan sebagai serangkaian keterampilan untuk menyusun intisari informasi dari suatu teks. Mengacu pada “transactional theory of reading”, Rosenblatt (Elliot and Kenney, Eds., 1996, h. 67) mengemukakan bahwa selama kegiatan membaca, pembaca membentuk dan dibentuk secara aktif oleh teks. Ini berarti bahwa pembaca tidak hanya sekadar melafalkan sajian tertulis saja, tetapi dengan menggunakan pengetahuannya, minatnya, nilainya, dan perasaannya pembaca mengembangkan makna yang termuat dalam teks yang bersangkutan. Seorang pembaca dikatakan memahami teks yang dibacanya secara bermakna apabila ia dapat mengemukakan idea dalam teks tersebut secara benar dalam bahasanya sendiri. Kemampuan mengemukakan idea matematik dari suatu teks baik dalam bentuk lisan atau tulisan merupakan bagian penting dari standar komunikasi matematik yang perlu dimiliki siswa. Keterampilan membaca teks matematik siswa dapat diestimasi melalui kemampuan mereka menyampaikan secara lisan atau menuliskan kembali idea matematik dengan bahasanya sendiri.
Ditinjau dari tujuannya, terdapat empat jenis membaca sebagai berikut (Moesono, 2002)..
4
1) Literal reading, yaitu membaca dengan tujuan untuk memperoleh informasi untuk pemahaman lebih lanjut.
2) Interpretatif reading yaitu membaca dengan tujuan untuk menarik kesimpulan dari isi teks baik yang tersurat maupun yang tersirat.
3) Critical reading yaitu membaca dengan tujuan untuk mengevaluasi isi teks, membandingkan gagasan yang terdapat dalam teks, dan membuat kesimpulan hasil bandingannya. Kemampuan membaca jenis ini memerlukan kemampuan laterl reading dan interpretative reading.
4) Creative reading yaitu membaca dengan tujuan untuk mampu menyusun gagasan baru, pandangan baru, pendekatan baru berdasarkan imajinasi terhadap isi teks yang dibaca. Kemampuan membaca jenis ini memerlukan kemampuan laterl reading, interpretative reading. dan critical reading.
Ditinjau caranya, membaca dapat diklasifikasikan dalam membaca cepat (efisien), membaca pemahaman (memindai), dan membaca ekstensif. Ada dua jenis membaca cepat yaitu membaca skimming, dan membaca scanning (Moesono, 2002). Membaca skimming dilakukan bila pembaca ingin memperoleh informasi yang lebih banyak dalam waktu yang singkat. Pembaca tidak perlu membaca keseluruhan teks, namun hanya memilih gagasan penting saja, sedang fakta dan detail lainnya dibaikan. Membaca scanning dilakukan bila pembaca ingin memperoleh informasi atau data tertentu, pembaca langsung menuju sasaran dan bagian lain dilompati. Dihubungkan dengan tjuannya, kedua jenis membaca ini, tergolong pada lateral reading. Dalam membaca memindai, pembaca mencermati teks lebih seksama untuk memperoleh pemahaman yang mendalam. Sedang dalam membaca ekstensif, selain mencermati teks secara lebih seksama, pembaca mengkaitkan pula dengan gagasan lain di luar teks.Ditinjau dari tujuannya, membaca memindai tergolong pada interpretative dan creative reading, sedang membaca ekstensive teergolong pada creative reading. Dalam matematika, pada dasarnya semua jenis keterampilan membaca matematika di atas akan berkaitan erat dengan kemampuan pemahaman, pemecahan massalah, penalaran, dan koneksi matematik serta kemampuan komunikasi matematik baik secara lisan maupun secara tulisan. Dalam pembelajaran keterampilan membaca jenis manapun, guru harus menyajikan teks, tugas, atau soal matematika sedemikian sehingga relevan dengan pengetahuan matematika, minat serta pengalaman dan cara belajar siswa. Selain dari relevansi di atas, penyajian teks, tugas, atau soal matematika juga hendaknya:
• mendorong pengembangan pemahaman dan berfikir siswa,
• menstimulasi siswa menyusun hubungan dan mengembangkan tatakerja idea matematika
• mendorong untuk memformulasi masalah, pemecahan masalah dan penalaran matematik
• memajukan komunikasi matematik
• menggambarkan matematika sebagai kegiatan manusia
• mendorong keinginan siswa mengerjakan matematika atau mengembangkan disposisi matematik siswa
Beberapa pendekatan pembelajaran untuk mengembangkan keterampilan membaca matematika, di ataranya adalah: transactional reading strategy, esai dalam topik matematika tertentu, strategi SQ3R (survey, question, read, recite , review), think-talk-write, open-ended task, dan performance-assessment task (Elliot and Kenney, Eds., 1996). Pembelajaran dapat dilaksanakan secara klasikal atau dalam kelompok kecil tipe STAD, TAI, JIGSAW, atau yang lainnya. Pada umumnya pembelajaran dalam kelompok kecil memberi kesempatan lebih besar kepada siswa untuk berkomunikasi dengan sebayanya. Misalnya dalam strategi
5
think, talk, write, mula-mula siswa membaca cepat dalam hati secara indidual (think), kemudian mereka berdiskusi (talk) dalam kelompok kecil mengemukakan ideanya, setelah itu mereka masing-masing merepresentasikan ideanya dalam tulisan (write). Melalui strategi think, talk, write siswa belajar mengeksplor kata-kata untuk menyatakan ideanya dan mendengarkan pendapat teman lain, sehingga terbentuk pemahaman pada siswa. Selanjutnya pemahaman siswa disajikan dalam bentuk tulisan sehingga terbentuk makna dari bacaannya. Uraian di atas menggambarkan bahwa produk keterampilan membaca matematika diekspresikan oleh siswa melalui komunikasi lisan, dan kemudian disajikan dalam bentuk komunikasi tulisan. Pernyataan tersebut memuat arti bahwa keterampilan membaca matematik siswa antara lain terlukis dalam keterampilan menulis matematik (mathematical writing ability) mereka.
Untuk meningkatkan partisipasi belajar siswa dan kualitas pembelajaran melalui pendekatan manapun dan pengelompokan siswa dalam tipe manapun, satu hal yang perlu diperhatikan guru adalah pengaturan diskursus (discourse) di kelas. Pengaturan diskursus dapat dilaksanakan dengan cara:
• mengajukan pertanyaan yang mengundang, dan menantang siswa berfikir.
• mengikuti idea yang dikemukakan siswa
• meminta siswa menjelaskan idea mereka secara lisan atau tulisan.
• menetapkan idea siswa yang harus dikembangkan lebih lanjut.
• menetapkan saat yang tepat untuk memperkenalkan notasi dan bahasa matematika yang tepat ke dalam idea siswa
• menetapkan saat yang tepat untuk menyajikan informasi, menjelaskan isu, membuat model, meminpin siswa, dan memberi kesempatan siswa mengatasi kesulitannya.
• memonitor partisipasi siswa dalam diskusi dan mendorong mereka berpartisipasi.
Selama diskursus berlangsung, guru hendaknya menciptakan suasana kelas agar siswa:
• mendengarkan, merespon, dan bertanya kepada dosen atau sesama temannya.
• menggunakan berbagai cara untuk bernalar, membuat koneksi, menyelesaikan masalah, dan saling berkomunikasi
• mengajukan pertanyaan, permasalahan, konjektur dan penyelesaiannya
• mencari contoh dan lawan contoh untuk menemukan konjektur.
• meyakinkan diri siswa terhadap representasi, konjektur, dan jawaban mereka.
• menetapkan keabsahan berdasarkan kejadian dan argumen matematika
Dalam memilih tugas latihan atau butir soal untuk mengembangkan dan mengukur hasil belajar matematika siswa perlu dipertimbangkan beberapa pendapat atau saran berikut.
• Penilaian hasil belajar siswa merupakan bagian integral dari pembelajaran
• Gunakan beberapa metode pengukuran
• Sesuaikan tugas dengan aspek pengetahuan dan proses matematika yang akan diukur
• Pertimbangkan aspek pembelajaran dan kurikulum secara seimbang
. Selanjutnya, untuk mendukung terlaksananya pembelajaran yang baik, perlu kiranya dipertimbangkan perubahan pandangan dalam pembelajaran matematika seperti terlukis pada Tabel 1. Seperti halnya dalam pembelajaran, peerlu dipertimbangkan pula saran adanya perubahan penekanan dalam penilaian. Beberapa perubahan penekanan dalam penilaian hasil belajar matematika siswa antara lain tercantum pada Tabel 2
6
Tabel 1.
Perubahan Pandangan dalam Pembelajaran Matematika
Dari Pandangan Lama
Ke arah Pandangan Baru
1
Kelas sebagai kumpulan individu
1.
Kelas sebagai masyarakat belajar
2.
Mengikuti kurikulum secara kaku
2.
Seleksi kurikulum secara fleksibel
3.
Guru sebagai pemegang otoriter jawaban yang benar
3.
Guru mengarahkan ke logika dan peristiwa matematika sbg verivikasi.
4.
Guru sebagai pengajar (instructor)
4.
Guru sebagai pendidik, fasilitator, motivator, manager belajar
5
Guru melayani seluruh siswa secara serupa
5.
Guru melayani siswa sesuai kebutuhannya
6.
Mengingat informasi dan prosedur penyelesaian
6.
Pemahaman mendalam, pemecahan masalah, penalaran, komunikasi, koneksi, dan menemukan secara aktif
7.
Memperoleh jawaban mekanistik
7.
Menyusun konjektur, menemukan, dan pemecahan masalah. matematik.
8.
Guru bekerja sendiri-sendiri
8.
Kerjasama antar Guru untuk memajukan program
9.
Suasana kompetitif yang kurang sehat
9.
Masyarakat belajar. dengan kerjasama dan urunan tanggung jawab/ perhatian.
10
Matematika sebagai "body of isolated concepts and procedures"
10.
"Connecting mathematics, its ideas, and its application”.
Tabel 2
Perubahan Penekanan dalam Menilai
Hasil Belajar Matematika Siswa
Kurang menekankan pada
Lebih menekankan pada
1
Mengases apa yang tidak diketahui siswa
1.
Mengases apa yang diketahui siswa dan cara berfikir matematika siswa
2.
Pemberian skor hanya berdasarkan jawaban benar
2.
Asesment sebagai bagian integral dari pembelajaran
3.
Memfokuskan pada sejumlah keterampilan khusus dan terpisah-pisah dalam matriks konten-perilaku
3.
Memfokuskan tugas matematik yang lebih luas dan pandangan matematik secara holistik
4
Menggunakan latihan yang hanya memuat satu atau dua keterampilan
4.
Mengembangkan situasi masalah yang melibatkan sejumlah idea matematik
5.
Hanya menggunakan tes tertulis
5.
Menggunakan beragam teknik asesment
6.
Mengevaluasi program hanya berdasar pada skor tes
6.
Menggunakan berbagai sumber untuk mengevaluasi program
7.
Menggunakan tes hasil belajar baku sebagai satu-satunya indikator keberhasilan program
7.
Menggunakan tes hasil belajar baku sebagai satu dari indikator keberhasilan program
Karena proses membaca matematika merupakan proses yang aktif, dinamik, dan generatif, serta memuat aktivitas yang kompleks yang melibatkan respons fisikal (sensasi dan persepsi), mental (simbol abstrak dan makna), intelektual (critical thinking), dan emosi (intensitas emosi), maka guru hendaknya menggunakan beragam pendekatan atau memilih jenis pendekatan yang sesuai dengan kesiapan siswa. Pembelajaran membaca matematika
7
hendaknya sebagai alat untuk mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematik, berfikir kritis, dan berkomunikasi atau berekspresi secara kreatif (Moesono, 2002).Sebagai implikasi bahwa siswa SM telah mencapai perkembangan membaca lanjut, maka proses pembelajaran membaca matematika secara cepat juga pada tingkat lanjut. Oleh karena itu penyajian teks atau soal matematika dan pertanyaan yang diajukan kepada siswa hendaknya bukan yang cukup dijawab dengan ya atau tidak, benar atau salah, atau sejenisnya. Namun sajikan teks dan pertanyaan yang mengundang kemampuan pemecahan masalah matematik, berfikir kritis, dan berkomunikasi atau berekspresi secara kreatif. Agar dalam waktu singkat siswa dapat membaca cepat, efektif, dan efisien, disertai dengan pemahaman, dapat diikuti beberapa saran berikut (Moesono, 2002).
(1) Usahakan siswa membaca cepat dan memperoleh informasi untuk diingat dalam jangka lama (Long term memory atau LTM), secara terarah dan bertujuan.
(2) Organisasikan materi melalui:
• mencatat hal-hal penting atau gagasan utama fakta dan abaikan atau lompati dulu fakta dan detail lainnya;
• menghubung-hubungkan hal-hal penting tadi, dan susun ringkasan
• memanfaatkan alat bantu baca, misalnya: tabel, peta, grafik, dan gambar
C. Beberapa Contoh Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika
1. Pembelajaran keterampilan membaca matematik dengan “transactional reading strategy”
Strategi transactional reading merupakan salah satu strategi belajar bagaimana menyusun sesuatu yang masuk akal dari suatu teks matematika yang sulit. Pertama kali, siswa dihadapkan pada suatu teks yang di dalamnya memuat konsep dan atau keterampilan matematik misalnya pemahaman, pemecahan masalah, penalaran, koneksi atau komunikasi matematik. Mereka diminta membaca dalam hati teks yang bersangkutan. Kemudian mereka diundang untuk say something atau menceriterakan apa yang mereka pahami dari teks tersebut. Respons siswa direkam, dan dilengkapi dengan pertanyaan dan komentar dari siswa lain. Kemudian guru meminta siswa memilih salah satu rekaman dan membacanya secara berpasangan. Tiap pasangan membahas rekaman, pertanyaan, dan komentarnya dan kemudian mereka mencoba membuat sketsa dari rekaman tadi. Strategi ini dinamakan sketch to stretch di mana siswa diundang mengkomunikasikan ideanya secara berbeda. Melalui strategi ini, dapat diidentifikasi sejauh mana siswa mengenal, memahami, bernalar, membuat hubungan, dan mengkomunikasikan idea-idea pokok dalam teks tadi. Dalam kegiatan ini terlihat bahwa kegiatan membaca bukan kegiatan pencatatan yang sederhana tetapi membantu siswa menyusun sesuatu idea matematik atau prosedur yang masuk akal, menyusun hubungan antara matematika dan dunia nyata, mengembangakan pandangan yang lebih luas, mengembangkan strategi berkomunikasi, dan menilai idea siswa sendiri.
2. Contoh pembelajaran keterampilan membaca memindai, membaca cepat, membaca pemahaman, dan membaca ekstensif dalam matematika, melalui strategi SQ3R
Strategi SQ3R memuat lima langkah utama yaitu: survey, question, read, recite, dan review. Pada langkah pertama yaitu “survey”, siswa dihadapkan pada suatu teks matematika
8
atau tugas matematik (soal matematika) dalam aspek kognitif tertentu. Kemudian siswa diminta membaca secara cepat teks atau tugas yang bersangkutan dan mengidentifikasi hal-hal yang penting. Pada langkah kedua (tahap membaca dengan pemahaman), “question”, siswa diminta menyusun pertanyaan yang mengarahkan siswa pada penyelesaian masalah. Selanjutnya pada langkah ketiga (tahap membaca ekstensif), “read” bacalah kembali teks atau soal untuk menjawab pertanyaan yang telah disusun. Langkah selanjutnya, “recite”, jawablah pertanyaan yang telah disusun. Pada langkah terakhir (tahap membaca ekstensif), “review”, periksa lagi jawaban untuk menyakinkan kebenaran jawaban.
1. Contoh: Tugas/soal non-rutin, open-ended, tingkat tinggi untuk siswa SD dan tingkat sedang untuk siswa SM dalam aspek Pemahaman Matematik (operasi pada bilangan bulat)
Rumah Gita dan rumah Gani berselang 7 rumah berada di deretan nomor genap. Rumah Gani bernomor 46. Berapa nomor rumah Gita?
a) Tahap survey: (tahap membaca cepat, membaca literal)
Bacalah soal tersebut dengan cepat, kemudian tuliskan konsep penting yang ada pada soal di atas! Mengapa konsep itu kamu anggap penting? (pertanyaan ini pada dasarnya untuk mendorong siswa melakukan metakognitif). Kemudian tuliskan hubungan di antara konsep tadi
Harapan jawaban: konsep penting itu adalah: bilangan genap; dan bilangan 46, hubungannya: antara kedua bilangan ada 7 bilangan
Data tersebut penting karena akan digunakan untuk menjawab soal.
b) Tahap question: (tahap membaca pemahaman, memindai, membaca interpretative)
Pertanyaan apa yang dapat kamu ajukan? (sebagai arah untuk menjawab pertanyaan soal)
Harapan jawaban:
• Apakah rumah Gita di kanan atau di kiri rumah Gani?
• Sketsakan letak rumah Gani dan rumah Gita pada satu garis
• Apakah masalah ini tentang pengurangan atau penjumlahan bilangan genap?
• Jadi berapa nomor rumah Gita?
c) Tahap read dan recite (tahap membaca memindai, membaca critical):
Jawablah pertanyaan pada butir b)
Harapan jawaban:
• Rumah Gita di kanan rumah Gani, jadi soal ini tentang penjumlahan
• Rumah Gita di kiri rumah Gani, jadi soal ini tentang penjumlahan
46
Rmh Gita 7 rumah Rmh. Gani 7 rumah Rmh Gita
Kemunginan jawaban:
(2) Nomor rumah Gita : 46 + 7 = 53 (kalau di kanan rmh Gani)
(3) Nomor rumah Gita : 46 - 7 = 39 (kalau di kiri rmh Gani)
(4) Nomor rumah Gita: 46 + 2 x 7 = 60 (kalau di kanan rmh Gani)
9
(5) Nomor rumah Gita: 46 - 2 x 7 = 32 (kalau di kiri rmh Gani)
(6) Nomor rumah Gita: 46 + 2 x 7 + 2 = 62 (kalau di kanan rmh Gani)
(7) Nomor rumah Gita: 46 - 2 x 7 - 2 = 30 (kalau di kiri rmh Gani)
d) Tahap review (tahap membaca ekstensif, membaca creative)
Periksalah kebenaran jawaban pada no c)
Harapan Jawaban:
(1) dan (2) nomor rumah Gita 53 atau 39 . Ini adalah nomor ganjil. Yang diketahui nomor rumah Gita genap, jadi jawaban itu salah
(3). dan (4) nomor rumah Gita 60 atau 32. Ini adalah nomor genap, mungkin benar.
Periksa lagi, banyak rumah antara rumah Gani dan Gita, ternyata ada 6 rumah saja.
Jadi jawaban ini juga salah.
(5) dan (6) nomor rumah Gita 62 atau 30. Ini adalah nomor genap, mungkin benar.
Periksa lagi, banyak rumah antara rumah Gani dan Gita, ternyata ada 7 rumah.
Jawaban ini sesuai dengan yang diketahui. Jadi jawaban ini benar.
2) Dengan cara serupa dapat diajukan contoh tugas/soal Non-linier, tingkat tinggi untuk siswa SD dan tingkat sedang untuk siswa SLTP (memuat invers operasi lebih tua)
Tuti 5 tahun 3 bulan lebih tua dari Desi Sekarang umur Tuti 13 tahun 2 bulan.
Berapa unur Desi sekarang? Jelaskan jawabanmu
3). Dengan cara serupa dapat diajukan contoh tugas/soal non-rutin, tingkat tinggi untuk siswa SD dan tingkat sedang untuk siswa SLTP (memuat pembulatan bilangan sesuai konteks)
Satu kotak berisi satu lusin pinsil. Di kelas Nina ada 42 murid. Berapa kotak harus disediakan Nina, agar tiap anak mendapat satu pinsil? Jelaskan jawabanmu.
4). Pemecahan Masalah Matematik (untuk siswa SLTP)
a. Memahami masalah (serupa dengan tahap membaca survey, cepat)
Kebun Pak Salim berbentuk persegi panjang dan luasnya 225 m2. Di kebun terdapat 15 batang pohon pisang. Pak Salim akan memasang pagar, oleh karena itu ia harus menghitung keliling kebunnya. Cukup, kurang atau berlebihkah data di atas agar Pak Salim mengetahui keliling kebunnya itu? Jelaskan jawabanmu
b. Mencari alternatif penyelesaian (serupa dengan tahap membaca read, pemahaman)
Ganda dan Soleh pergi ke toko buku. Ganda membeli 5 buah buku dan 3 pinsil harganya Rp.10.200,00. Soleh membeli 4 buah buku dan 5 pinsil harganya Rp.10.500,00. Bagaimana cara mereka mengetahui harga tiap buku dan tiap pinsil?
c. Melaksanakan perhitungan (serupa dengan tahap membaca recite, ekstensif)
Selesaikanlah soal pada nomor 2.b.
d. Memeriksa kebenaran jawaban. (serupa dengan tahap membaca review, ekstensif)
Ardi dan Koko akan menghitung nilai kosinus sudut suatu segitiga sama sisi. Dari perhitungan Ardi memperoleh jawaban ½ dan Koko memperoleh jawaban – ½.
Jawaban siapa yang benar? Jelaskan alasannya.
10
5) Koneksi Matematik
Aspek ini dapat pula digolongkan pada aspek pemahaman tingkat tinggi (pemahaman relasional) atau penalaran analogi
a. Hubungan apa yang ada antara p = 5 x dengan 5 log p = x. Coba jelaskan!
(tugas untuk membaca cepat, konsep penting apa yang ada? (harapan jawaban: perpangkatan dan logaritma)
(tugas membaca pemahaman, harapan jawaban: p = 5 x ekuivalen dengan 5 log p = x
b. Ibu mempunyai tabungan Rp. 250.000,00 dengan bunga tetap 2% tiap bulan. Ibu ingin tahu besar tabungannya setelah setengah tahun. Prinsip atau rumus matematika mana yang digunakan ibu? Coba jelaskan.
Tugas membaca cepat (survey): konsep yang penting adalah, tabungan awal Rp. 250.000,00 bunga tetap 2% / bulan, lama waktu 6 bulan)
Tugas membaca pemahaman (question): Berapa bunga untuk 6 bulan dan berapa tabungannya seteal 6 bulan?
Tugas membaca ekstensif (read dan recite): mencari jumlah tabungan akhir yaitu jumlah tabungan awal di tambah bunga selama 6 bulan
Tugas membaca ekstensif (review): memeriksa kebenaran jawaban
6) Contoh Tugas komunikasi matematik (dengan strategi SQ3R, bersifat open-ended)
Persamaan manakah yang cocok untuk gambar di bawah ini? Beri penjelasan.
Y a. y = 2 x + 1
(0,1) b. 2y = x + 1
c. y = - 2x + 1
d. 2y = - x + 1
(-2,0) 0 X
a) Tahap membaca cepat (survey): konsep apa yang termuat pada tugas ini?
Harapan jawaban: grafik dan persamaan garis lurus
b) Tahap membaca pemahaman question): apa persamaan garis pada grafik?
Harapan jawaban: rumus apa untuk menacri persamaan garis melalui (-2,0) dan (0,1)?
c) Tahap membaca ekstensif (read) Bagaimana mencari persamaan garis itu?
Harapan jawaban: Gunakan rumus persamaan garis melalui dua titik.
d) Tahap membaca ekstensif (review): memeriksa kebenaran jawaban. Disertai dengan alasan rasional.
Harapan jawaban: memeriksa apakah titik (-2,0) dan (0,1) memenuhi persamaan dalam pilhan jawaban.
3. Contoh Tugas Membaca Matematika dengan Strategi Think-talk-write.
11
Dalam strategi think-talk-write, mula-mula siswa diminta membaca dalam hati secara cepat dan individual, kemudian siswa berdiskusi dalam kelompok kecil membahas hasil pemikirannya, selanjutnya berdasarkan hasil diskusi tiap siswa menyajikan jawaban tugas masing-masing secara tertulis.
1) Tugas penalaran analogi matematik (untuk siswa SLTP, tugas ini dapat pula digolongkan pada koneksi).
Pilihlah jawaban yang benar
Hubungan 3 dengan Hubungan p dengan
6, 18, 54, ….. a. p, 2p, 3p, …
b. p+2, p+3, p+4, …
c. 2p , 2p2 , 2p3 , …
d. 2p , 4p , 8p , …
Jelaskan hubungan apa yang serupa!
Melalui strategi think-talk-write:
• Pertama biarkan siswa membaca pemahaman dalam hati (think) secara individual dengan cara mngamati hubungan antara bilangan 3 dan barisan 6, 18, 54, … dan kemudian memberi nama hubungan tersebut.
Harapan jawaban: 3 adalah pembanding dari barisan 6, 18, 54, …Kemudian siswa mengamati hubungan p dengan tiap pilihan jawaban dan memeriksa hubungan mana yang serupa.
• Kemudian siswa berdiskusi (talk) dalam kelompok kecil, membahas hubungan-hubungan tadi
• Setelah itu tiap siswa menyampaikan hasil diskusinya secara tertulis (write)
2) Tugas .Penalaran Analogi dan Generalisasi
Perhatikan pola bilangan di bawah ini
Serupa dengan
Pola ke: 1 2 3 4 dst
Banyak bulatan: 1 3 ? ?
Berapa banyak bulatan pada pola ke-3, dan pada pola ke 4? Bagaimana cara mencarinya? (untuk siswa SLTP)
Berapa banyak bulatan pada pola ke-n? Tuliskan bentuk umumnya! Bagaimana cara mencarinya? (untuk siswa SMU)
Melalui strategi think-talk-write:
• Pertama biarkan siswa membaca dalam hati secara individual, untuk mngamati pola demi pola, hubungan antara tiap pola dengan banyaknya bulatan, kemudian mengestimasi aturan yang membentuk pola-pola tadi.
12
• Kemudian siswa berdiskusi dalam kelompok kecil, membahas pendapat masing-masing tentang pola yang terbentuk.
• Setelah itu tiap siswa menyampaikan jawabannya secara tertulis, disertai dengan alsannya.
3).. Tugas penalaran analogi matematik (Tugas membaca pemahaman dan ekstensif)
Pada tugas matematik ini, siswa diminta untuk mengamati hubungan yang ada antara pasangan istilah yang diberikan. Kemudian mencari istilah yang berpadanan dengan istilah lainnya. Tugas pada butir ini tidak melibatkan perhitungan matematik.
Isilah tempat yang kosong dengan istilah yang sesuai dengan memperhatikan hubungan yang ada pada unsur-unsur lainnya
a.
kolinier dan garis
serupa dengan
……………….dan bidang
b
……… dan 1 dimensi
serupa dengan
koplanar dan 2 dimensi
c
kongruent dan …………….
serupa dengan
sama dan bilangan
d
ungkapan dan kalimat
serupa dengan
pernyataan dan ………..
e
bola dan setengah bola
serupa dengan
lingkaran dan …………
f
prisma dan tabung
serupa dengan
piramid dan ………….
g
bidang dan lingkaran
serupa dengan
………… dan bola
Melalui strategi think-talk-write:
• Pertama biarkan siswa membaca pemahaman dalam hati (think) secara individual untuk mengamati konsep-konsep dan hubungannya pada baris yang sama, kemudian mencoba mencari kesesuaian hubungan di ruas kiri dan di ruas kanan (harapan jawaban: semua butir tentang geometri kecuali butir d, dan hubungan tiap butir berbeda)
• Kemudian siswa berdiskusi (talk) dalam kelompok kecil, membahas hubungan-hubungan tadi
• Setelah itu tiap siswa menyampaikan hasil diskusinya secara tertulis (write)
4. Contoh Tugas Membaca Matematika Berbentuk Open-ended.
Pada contoh ini siswa dihadapkan pada sejumlah data, dan mereka diminta untuk memilih cara penyajian data yang paling sesuai. Jawaban tugas ini dapat beragam sesuai dengan pendapat siswa (bersifat open-ended). Penilaian didasarkan pada ketepatan menghitung, menggambar dan memberikan alasan atau rasional terhadap jawaban siswa
1). Contoh Tugas Komunikasi Matematik yang Open-ended
Siswa Kelas 1 SLTP ada 50 orang. Pada ulangan matematika sebanyak 20% siswa mendapat nilai matematika 8, 30 % mendapat nilai 7, 30% lainnya mendapat nilai 6 dan sisanya mendapat nilai 5. Berapa orang yang mendapat nilai 5? Gambarkan data di atas dalam bentuk matematika yang mudah dibaca. Jelaskan bentuk matematika apa yang kamu pilih, dan mengapa bentuk itu yang dipilih ?
Beberapa langkah yang dapat ditempuh:
• Tahap membaca cepat: Baca dan amati uraian di atas, kemudian identifikasi konsep matematika apa yang termuat dalam uaraian itu.
13
Harapan jawaban: konsep persen, penjumlahan, pengurangan, dan representasi data (tabel, grafik batang, atau diagram lingkaran)
• Tahap membaca pemahaman: mencari data yang belum diketahui (% untuk nilai 5) dan memilih representasi yang sesuai disertai alasan (ini adalah tugas open-ended)
Harapan jawaban: % yang mendapat nilai 5: 100% - (20% + 30% + 30%) – 20%
Yang menadapat nilai 5 : 20 % dari 50 yaitu 10 orang
• Representasi data dapat berbentuk tabel, diagram batang atau diagram lingkaran disertai dengan alasan (bersifat open-ended)
2) Contoh tugas komunikasi matematik yang bersifat open-ended.
Perhatikan diagram di bawah ini. Susunlah suatu ceritera dalam kalimat yang lengkap, rapih dan jelas. yang sesuai dengan diagram itu. Lengkapi diagram dengan judul dan unsur-unsur yang relevan
Tugas membaca pada contoh di atas, berada pada tahap membaca pemahaman dan tahap ekstensif. Tugas ini bersifat open-ended, baik dalam menentukan judul tabel, memberi nama unsur-unsurnya, serta menyusun ceritera yang relevan. Tugas ini juga mengundang siswa berfikir kritis, dan berfikir kreatif. Keterampilan membaca dan menulis matematika pada tugas ini dapat diukur dengan menggunakan pendekatan performance-assessment task seperti terlukis pada Tabel 3
Tabel 3
Pedoman Pemberian Skor pada Performance-Assessment Task
Skor Level 4
Skor Level 3
Skor Level 2
Skor Level 1
Skor Level 0
Math. Knowledge:
Pemahaman konsep prinsip, menggunakan terminologi dan notasi matematik secara benar, meng-hitung dg benar dan tepat
Math. Knowledge:
Pemahaman konsep prinsip, terminologi, dan notasi hampir benar, algoritma benar, perhitungan benar dg sedkit eror
Math. Knowledge
Pemahaman konsep prinsip, terminologi, dan notasi sebagian benar, perhitungan memuat eror serius
Math. Knowledge
Pemahaman konsep prinsip, terminologi, dan notasi sangat minim, perhitungan memuat eror serius
Math. Knowledge:
Tidak ada pemahaman
Stratg. Knowledge:
Menggunakan infor-masi formal/informal
mengidentifikasi unsur dg pemahaman
dan merelasikannya,
menggunakan stratg yg sesuai dan ber-alasan, solusi leng-kap dan sistimatik
Stratg. Knowledge
Menggunakan sebag informasi formal/ informal, mengiden-tifikasi sebag unsur dg pemahaman, solusi hampir leng-kap dan sistimatik
Stratg. Knowledge:
Menggunakan sedkit informasi formal/ informal, mengiden-tifikasi sedkit unsur dg pemahaman, solusi hampir leng-kap dan sistimatik
Stratg. Knowledge
Menggunakan sangat sedkit informasi formal/informal, mengidenifikasi sangat sedkit unsur dg pemahaman, solusi tidak leng-kap dan sistimatik
Stratg. Knowledge:
Tidak ada informasi
Comunication
Respons lengkap dan
Comunication
Respons hampir
Comunication:
Respons hampir
Comunication
Respons kurang
Comunication:
Tidak ada respons,
14
jelas, tidak ragu-ragu, diagram lengkap, komunikasi efisien, sajian logis, disertai dg contoh
lengkap dan jelas, tidak ragu-ragu, diagram hampir lengkap, komunikasi efisien, sajian logis, ada gapr kecil
lengkap dan jelas, namun ragu-ragu, diagram kurang lengkap, komunikasi kurang efisien, sajian kurang logis, ada gap cukup besar
lengkap dan kurang jelas, ragu-ragu, diagram kurang lengkap, komunikasi kurang efisien, sajian kurang logis, ada gap cukup besar
komunikasi tidak efisien, misinterpre-tasi
Catatan: Pemberian bobot skor lebih diutamakan pada proses matematik dan bukan pada masalah linguistik
5. Contoh Tugas Membaca Matematika melalui strategi “Performance-Assessment Task”
Dalam tugas jenis ini siswa dihadapkan pada suatu konteks yang sudah dikenal siswa. Tugas iini memuat aspek pemecahan masalah, penalaran dan komunikasi matematik. Siswa diundang untuk mengemukakan pendapatnya disertai dengan alasan matematik. Tugas ini memberi kesempatan siswa mengeksplor berbagai kemungkinan jawaban dan alasan sehingga jawaban dapat beragam (open-ended). Selain kemampuan membaca matematika sifat-sifat geometri, melalui tugas ini dapat diidentifikasi kebermaknaan pemahaman, kemampuan penalaran dan komunikasi matematik siswa.
Beberapa siswa akan mengadakan perlombaan lari di suatu lapangan yang berbentuk persegi. Disediakan dua rencana peerlombaan yang berbeda dengan aturan seperti pada Gambar 1 dan Gambar 2. Bacalah peraturan masing-masing, adilkah aturan itu untuk tiap peserta? Berikan alasan pada jawabanmu. Kalau tidak adil, rancanglah aturan perlombaan agar adil untuk tiap peserta. (diadopsi dari Peressini dan Basset, dalam Elliot dan Kenney, 1996).
C
B CC D
•
E
X F
B CC
Aturan permainan (2)
• Tiap peserta berangkat dari dari satu titik yang sama, X
• Budi lari sepanjang XB
• Cece lari sepanjang XC
• Dono lari selanjang XD
• Edi lari sepanjang XE
• Ferdi lari sepanjang XF
Apakah aturan (2) ini adil? Tuliskan alasanmu.
Aturan permainan (1)
• Tiap peserta berangkat dari dari satu titik yang sama, X
• Budi lari sepanjang XB
• Cece lari sepanjang XC
• Dono lari selanjang XD
• Edi lari sepanjang XE
• Ferdi lari sepanjang XF
Tono mengatakan aturan teersebut tidak adil, karena tiap peserta menempuh jarak yang berbeda. Setujukah kamu dengan Tono? Tuliskan alasanmu
X F
C
D
E
6. Contoh Pembelajaran dan Tugas Membaca Teks Matematika
15
Pada contoh berikut disajikan suatu uraian tentang topik matematika tertentu. Pertama kali siswa diminta membacanya, dan mengidentifikassi hal-hal penting dalam teks itu. Hal-hal penting tersebut dapat merupakan konsep, teori, istilah, rumus, operasi, atau hal lain berkenaan dengan matematika. Kemudian diajukan beberapa pertanyaan untuk mengetahui sejauh mana siswa mengenal, memahami, bernalar, membuat koneksi, menyelesaikan masalah dan berkomunikasi matematik tentang teks yang dibacanya. Seperti telah dikemukakan pada bagian sebelumnya, keterampilan membaca matematika siswa bukan dalam arti terampil melafalkan kalimat yang dibacanya saja, namun lebih dari itu siswa dapat mengemukakan ideanya dalam bahasa sendiri yang bermakna. Keterampilan membaca matematika siswa tercermin dari cara mereka menjawab pertanyaan baik secara lisan maupun secara tulisan. Pada jenis membaca matematika manapun, keterampilan membaca teks hendaknya memuat berfikir kritis, memahami secara bermakna dan berkomunikasi secara kreatif. Oleh karena itu, diperlukan keterampilan guru menyajikan teks dan mengajukan pertanyaan. Selanjutnya evaluasi keterampilan membaca matematika hendaknya lebih ditekankan pada rasional jawaban siswa dibandingkan pada segi tata bahasanya.
Pada bagian berikut, disajikan suatu contoh teks matematika yang diikuti oleh beberapa pertanyaan. Sebagai apersepsi, dan untuk memotivasi siswa terlebih dulu guru menjelaskan maksud latihan ini (membaca cepat, membaca pemahaman, atau membaca ekstensif) dan tugas yang harus dilakukan siswa Pada kesempatan ini akan diterapkan pandangan konstruktivisma dan kombinasi strategi problem based, open-ended, performance-task, think-talk-write, dan SQ3R.
Guru mempersiapkan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Guru mempersiapkan teks matematika yang memuat tugas berbentuk open-ended atau performance-task, yang dikuti dengan uraian yang membimbing siswa pada konsep yang akan dipelajari. Selama pembelajaran, berdasarkan respons siswa dalam menyelesaikan tugas open-ended tadi, guru membimbing siswa mengidentifikasi konsep, proses, operasi, rumus/teorema yang ada, mendefinisikannya, dan kemudian berlatih lagi menyelesaikan masalah.
2. Mula-mula digunakan strategi think-talk-write. Siswa dibagi dalam beberapa kelompok kecil, dan siswa diminta membaca tugas bentuk open-ended atau bentuk performance-task dalam hati secara individual (think).
3. Kemudian siswa berdiskusi dalam kelompoknya membahas hasil bacaan, saling sumbang pendapat (talk). Selanjutnya tiap siswa melaporkan hasil pemikirannya secara tertulis (write).
4. Setelah satu atau beberapa tugas (Butir 2 dan Butir 3) selesai, siswa dihadapkan pada uraian yang membimbing siswa memahami pengertian konsep matematika tertentu yang termuat dalam tugas-tugas yang telah dibahas.
5. Melalui strategi SQ3R, guru membimbing siswa mulai dari mengidentifikasi konsep-konsep yang penting, mencari hubungan antar konsep, menyelesaikan perhitungan dan menyimpulkan isi keseluruhan teks.
Contoh
Petunjuk
Bacalah teks di bawah ini, isilah ….. dengan simbol/lambang, kalimat yang sesuai. dan jawablah pertanyaan dalam bahasamu sendiri disertai dengan penjelasan.
16
Pada zaman Yunani kuno, seorang ahli matematika bernama Thales berhasil menghitung tinggi suatu piramid berdasarkan panjang bayangan suatu tongkat.
T
A B
Gambar 1
Suatu hari ia mengamati bayangan piramid, kemudian ia memberi nama titik puncap piramid dengan T, titik kaki tinggi piramid dengan A, titik ujung bayangang dengan B, seperti pada Gambar 1.
Kemudian ia menancapkan tongkat di titik B. Ujung tongkat diberi nama P. Setelah itu ia menggambar sketsa bayangan piramid dan bayangan tongkat seperti Gambar 2.
T
A B C
Gambar 2
Jadi tinggi piramida digambarkan dengan garis ….. pada TAB, dan panjang bayangannya di tanah digambarkan dengan panjang garis ……. Kemudian panjang tongkat digambarkan dengan garis ….. dan panjang bayangannya dengan garis …..
Sekarang kita bantu Tuan Thales, menentukan bentuk yang terjadi.
Segitiga TAB adalah segitiga ………… karena …………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………..
Segitiga PBC berbentuk segitiga ………… karena ………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….....
Bagaimana hubungan TAB dan PBC ? Tuliskan dalam bentuk simbol/lambang !
Jawab: TAB …… PBC. Apa alasannya?
Jawab: ……………………………………………………………………………………..
Sekarang bagaimana sifat perbandingan panjang sisi-sisi yang seletak? Perbandingan panjang sisi-sisi yang seletak, TA : AB ….. PB : BC.
Dengan cara yang sama berlaku perbandingan seharga panjang sisi-sisi yang lain, yaitu:
….. : ….. = ….. : ….. dan ….. : ….. = ….. : …..
Perbandingan seharga di atas dapat digambarkan seperti pada Gambar 3.
17
B
D
F
O E C A
Gambar 3
Bentuk OAB, OCD, dan OEF masing-masing segitiga siku-siku di .., ,,,, dan ….
Perbandingan panjang sisi-sisi yang seletak pada: OAB, OCD dan OEF adalah: AB CD EF OA OC OE AB CD EF
1) ⎯ = ⎯ = ⎯ 2) ⎯ = ⎯ = ⎯ dan 3) ⎯ = ⎯ = ⎯ OB OD OF OB OD OF OA OC OE
Perbandingan pada 1) dinamakan sinus sudut AOB disingkat sin ∠ AOB
2) dinamakan kosinus sudut AOB disingkat cos ∠ AOB
3). dinamakan tangen sudut AOB disingkat tan ∠ AOB
Perbandingan seharga 1), 2), dan 3) semuanya dinamakan perbandingan trigonometri .
Coba sekarang kamu tuliskan arti perbandingan trigonometri sinus, kosinus, dan tangens suatu sudut dengan bahasamu sendiri.
Setelah kamu baca sendiri, kemudian diskusikan dengan teman, dan isian ditulis, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.
1. Menurut pendapatmu judul apa yang sesuai .untuk uraian di atas? Mengapa demikian?
2. Tuliskan istilah atau konsep penting apa yang termuat dalam uraian di atas!
Tuliskan istilah/konsep baru, dan istilah/konsep yang sudah kamu kenal sebelumnya!
3. Tuliskan pengertian istilah atau konsep pada no.2 dengan bahasamu sendiri.
4. Hubungan apa yang ada antara konsep-konsep itu? Berikan penjelasan.
D. Penutup
Pada dasarnya pembelajaran keterampilan membaca matematika tidak dapat dilepaskan dari pembelajaran tentang pemahaman matematika dan keterampilan menulis matematika. Tidak mungkin siswa terampil membaca matematika tanpa ia memahami konsep, prinsip, aturan, simbol, atau materi matematika itu sendiri. Demikian pula, tidak mungkin siswa terampil membaca matematika tanpa ia dapat menjawab pertanyaan tentang yang dibacanya dengan benar baik secara lisan maupun tulisan.
Untuk meningkatkan kemampuan membaca matematika, pilihkan sajian teks atau tugas/soal matematika yang menuntut siswa berfikir kritik dan kreatif, hindarkan pertanyaan yang hanya dengan jawaban ya atau tidak. Selain itu sajikan teks atau tugas matematika, serta suasana belajar yang mendorong siswa senang mempelajari matematika, tidak mudah bosan dan menyerah, sehingga membentuk disposisi matematik siswa yang tinggi.
18
Daftar Pustaka
Board of Studies Mathematics, (1995). Curriculum and Standards Framework. Victoria.
Departemen Pendidikan Nasional. (2001). Kurikulum Matematika Berbasis Kompetensi untuk SD, SLTP, dan SMU
Ellerton, N.F. and Clarkson, P.C. (Bishop, A.J, Clements, K., Keithel, C., Kilpatrick, J., and Laborde, C., Eds.) (1996). International Handbook of Mathematics Education. Part 2.Volume 4, Kluwer Academik Publisher.
Eliot, P.C. and Kenney, M.J. (Eds, 1996). Communication in Mathematics, K-12 and Beyond. Yearbook. NCTM: Reston, Virginia.
Moesono, A. (2002) Pembelajaran Keteerampilan Membaca.Makalah Lokakarya Naasional Membaca dan Menulis Training of Trainer (TOT) bagi guru SLTP tahun 2002. Universitas Negeri Semarang (UNNES)
Romberg, T.A (Chair, 1993). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. NCTM: Reston, Virginia.
Sudrajat (2002) Penerapan SQ3R pada Pembelajaran Tindak Lanjut untuk Penigkatan Kemamuan komunkasi dalam Matematika Siswa SMU. Tesis pada PPs UPI
Sumarmo,U., Suryadi, D, Rukmana, K., Dasari, D. dan Suhendra (1998, 1999, 2000). Pengembangan Model Pembelajaran matematika untuk meningkatkan Kemampuan Intelektual tingkat tinggi Siswa Sekolah Dasar . Laporan Hibah Bersaing Tahap I, Tahap II, dan Tahap III.
Webb, N.L. and Coxford, A. F. (Eds., 1993) Assessment in the Mathematics Classroom. Yearbook. NCTM: Reston, Virginia
19

Matematika

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa


Euklides, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raffaello Sanzio di dalam detail ini dari Sekolah Athena.[1]
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.[7]
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.[8]
Daftar isi
[sembunyikan]
• 1 Etimologi
• 2 Sejarah
• 3 Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika
• 4 Notasi, bahasa, dan kekakuan
• 5 Matematika sebagai ilmu pengetahuan
• 6 Bidang-bidang matematika
o 6.1 Besaran
o 6.2 Ruang
o 6.3 Perubahan
o 6.4 Struktur
o 6.5 Dasar dan filsafat
o 6.6 Matematika diskret
o 6.7 Matematika terapan
• 7 Lihat pula
• 8 Catatan
• 9 Referensi
• 10 Pranala luar

[sunting] Etimologi
Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.
[sunting] Sejarah


Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah matematika
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.


Sistem bilangan Maya
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[12]
[sunting] Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika


Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Keindahan matematika
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15] Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.
[sunting] Notasi, bahasa, dan kekakuan


Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Notasi matematika
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[18] Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).


Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.
Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]
Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.[21]
[sunting] Matematika sebagai ilmu pengetahuan


Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
[sunting] Bidang-bidang matematika


Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
[sunting] Besaran
Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.






Bilangan asli
Bilangan bulat
Bilangan rasional
Bilangan real
Bilangan kompleks

[sunting] Ruang
Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyerkjakjkjkmanmma9agweuigquiwgdiuqgwuidgqiuwgduiqwg iucdqw98ydc890 qbyw98dy9qcwy9cdby9qwtakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Geometri
Trigonometri
Geometri diferensial
Topologi
Geometri fraktal

[sunting] Perubahan
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Kalkulus
Kalkulus vektor
Persamaan diferensial
Sistem dinamika
Teori chaos
Analisis kompleks

[sunting] Struktur
Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.





Teori bilangan
Aljabar abstrak
Teori grup
Teori orde

[sunting] Dasar dan filsafat
Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.



Logika matematika
Teori himpunan
Teori kategori

[sunting] Matematika diskret
Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]





Kombinatorika
Teori komputasi
Kriptografi
Teori graf

[sunting] Matematika terapan
Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Fisika matematika

Mekanika fluida

Analisis numerik

Optimisasi


Teori peluang

Statistika

Matematika keuangan

Teori permainan


Biologi matematika

Kimia matematika

Ekonomi matematika

Teori kontrol

STRUKTUR ALJABAR

Komposisi Biner
Definisi:
S suatu himpunan tak kosong. Suatu komposisi biner (operasi tertutup “*”) dalam S adalah suatu pemetaan :SxSS. Suatu operasi “*” dalam S dikatakan tidak tertutup, jika ada x,yS, sedemikian sehingga x*y  S.

Contoh: Himpunan bilangan jam limaan dengan operasi + adalah tertutup (komposisi biner). Perlihatkanlah dengan daftar. Daftar seperti ini disebut Daftar Cayley.

Struktur Aljabar
Definisi:
Suatu himpunan tak kosong dengan satu komposisi biner atau lebih, disebut Struktur Aljabar.

Contoh:
• Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa; yakni [N,+]
• Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi + dan x biasa, yakni: [Z,+,x]
GRUPOID
Definisi:
Suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner, disebut grupoid.

Contoh:
• Himpunan bilangan asli N dengan operasi + biasa.
• Himpunan bilangan riil dengan operasi x biasa.

Definisi:
[G,*] adalah grupoid dan e  G. Elemen e disebut unsur kesatuan kiri, jika e*x=x, x  G.

Definisi:
[G,*] adalah grupoid dan f  G. Elemen f disebut unsur kesatuan kanan, jika x*f=x, x  G.

Catatan:
Dapat terjadi suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari sebuah, unsur kesatuan kanan lebih dari sebuah, atau bahkan tidak memiliki unsur kesatuan kiri ataupun kanan.

Definisi:
Suatu grupoid [G,*] disebut komutatif jika x*y=y*x, x,y  G.

Contoh-contoh:
• [N,+] adalah grupoid komutatif tanpa unsur kesatuan.
• [N, x] adalah grupoid komutatif dengan unsur kesatuan= 1.
• Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks adalah grupoid yang tidak komutatif. Apakah unsur kesatuannya?

Teorema:
Jika suatu grupoid G memiliki unsur kesatuan kiri e dan unsur kesatuan kanan f, maka e = f dan G hanya memiliki satu unsur kesatuan saja, yang bertindak sebagai unsur kesatuan kiri dan kanan. Buktikan.

Akibat:
1. Jika suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kiri lebih dari satu, maka ia tak memiliki unsur kesatuan kanan satupun.
2. Jika suatu grupoid memiliki unsur kesatuan kanan lebih dari satu, maka ia tak memiliki unsur kesatuan kiri satupun.
(Buktikan)

Contoh-contoh:
• Himpunan matriks , x,y  R adalah grupoid dengan operasi perkalian matriks. Unsur kesatuan kirinya banyak, dan berbentuk .
• Himpunan matriks , x,y  R adalah grupoid dengan operasi perkalian matriks. Unsur kesatuan kanannya banyak, dan berbentuk .
• Himpunan matriks ordo mxn bilangan asli dengan operasi penjumlahan matriks adalah grupoid tanpa unsur kesatuan.

• Berikut ini adalah grupoid dengan unsur kesatuan kiri = c, tanpa unsur kesatuan kanan.
* a b c
a b c a
b c b a
c a b c

• Grupoid dengan unsur kesatuan kanan = b, tanpa unsur kesatuan kiri adalah:
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b

DAFTAR CAYLEY

Komposisi biner dapat didefinisikan secara analitik (deskriptif), atau secara geometrik (daftar Cayley).
• Jika pada daftar Cayley suatu grupoid terdapat suatu baris yang sama dengan baris paling atas, maka unsur pada kolom paling kiri merupakan suatu unsur kesatuan kiri grupoid yang bersangkutan.
• Jika pada daftar Cayley suatu grupoid terdapat suatu kolom yang sama dengan dengan kolom paling kiri, maka unsur pada baris paling atas merupakan unsur kesatuan kanan grupoid yang bersangkutan.
• Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley adalah komutatif jika dan hanya jika daftar Cayleynya merupakan matriks yang simetris terhadap diagonal utama.
Contoh-contoh:
• Perhatikan bahwa grupoid berikut memiliki unsur kesatuan kiri=c, tanpa unsur kesatuan kanan.
* a b c
a b c a
b c b a
c a b c
• Perhatikan bahwa grupoid berikut mempunyai unsur kesatuan kanan=b, tanpa unsur kesatuan kiri.
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b
• Perhatikan bahwa grupoid berikut memiliki unsur kesatuan kiri yang banyak, yakni a, b, dan c; tanpa unsur kesatuan kanan.
* a b c
a a b c
b a b c
c a b c
• Berikut ini adalah grupoid yang komutatif.
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b
• Contoh berikut ini grupoid yang tidak komutatif.
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b
Contoh-contoh:
• Berikut ini operasi * yang tertutup.
* a b c
a b a c
b c b a
c a c b

• Contoh berikut ini operasi * yang tidak tertutup.
* a b c
a b d c
b c b a
c a c b
• Himpunan bilangan asli dengan operasi + adalah tertutup.
• Himpunan bilangan asli dengan operasi - tidak tertutup.

Apakah ciri suatu grupoid dalam daftar Cayley tertutup?
Apakah ciri suatu grupoid dalam daftar Cayley tidak tertutup?

HUKUM PENCORETAN

Hukum Pencoretan
Definisi:
• Sebuah grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika ab=ac mengakibatkan b=c.
• Suatu grupoid G dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika ba=ca mengakibatkan b=c.

Catatan:
Untuk grupoid komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan (mengapa?)

Contoh-contoh:
• Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus.
• Himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks tidak memenuhi hukum pencoretan kiri, dan tidak memenuhi hukum pencoretan kanan. Mengapa?

Hukum Pencoretan dan Daftar Cayley
• Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum pencoretan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam daftar tersebut memuat unsur yang semuanya berbeda.
• Suatu grupoid yang disajikan dalam daftar Cayley memenuhi hukum pencoretan kanan jika dan hanya jika setiap kolom dalam daftar tersebut memuat unsur-unsur yang semuanya berbeda.

Contoh-contoh:
• Perhatikan grupoid berikut. Memenuhi hukum pencoretan kiri, tetapi tidak memenuhi hukum pencoretan kanan.
* a b c
a a b c
b a b c
c a b c




• Grupoid berikut memenuhi hukum pencoretan kanan, tetapi tidak memenuhi hukum pencoretan kiri.
* a b c
a a a a
b b b b
c c c c
• Grupoid berikut memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus.
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b

Pemecahan Masalah Matematika (Problem Solving in Mathematica)

Pemecahan Masalah Matematika (Problem Solving in Mathematica)
Masalah adalah sebuah kata yang sering terdengan oleh kita.Namun sesuatu menjadi masalah tergantung bagaimana seseorang mendapatkan masalah tersebut sesuai kemampuannya.Terkadang dalam pendidikan matematika SD ada masalah bagi kelas rendah namun bukan masalah bagi kelas tinggi.Masalah merupakan suatu konflik,hambatan bagi siswa dalam menyelesaikan tugas belajaraannya di kelas.Namun masalah harus diselesaikan agar proses berpikir siswa terus berkembang.Semakin banyak siswa dapat menyelesaikan setiap permasalahan matematika,maka siswa akan kaya akan variasi dalam menyelesaikan soal-soal matematika dalam bentuk apapun Bentuk soal matematika dalam SD berbentuk rutin atau pun tidak rutin.Contoh 3×3=9 merupakan soal rutin bagi siswa SD kelas 2 karena siswa tidak berpikir tinggi dalam menyelesaikan soal tersebut.Jika kelas 2 diberikan soal 33×33=….mungkin menjadi suatu masalah bagi siswa SD,inilah suatu bentuk soal yang tidak rutin.Sehingga kita bisa memberikan pemisahan bahwa soal yang tidak rutin merupakan masalah bagi siswa. Jenis masalah dalam pembelajaran SD ada 4 yaitu: 1. Masalah Translasi adalah masalah yang berhubungan aktivitas sehari-hari siswa.contoh: Ade membeli permen Sugus 12 buah.Bagaimana cara Ade membagikan kepada 24 orang temannya agar semua kebagian dengan adil? 2. Masalah Aplikasi adalah masalah yang menerapkan suatu konsep,rumus matematika dalam sebuah soal-soal matematika.Contoh suatu kolam berbentuk persegipanjang yang berukuran panjang 20 meter dan lebar 10 meter.Berapa luas kolam tersebut? 3. Masalah Proses/Pola adalah masalah yang memiliki pola, keteraturan dalam penyelesainnya.Contoh: 2 4 6 8 … Berapa angka berikutnya? 4.Masalah Teka-teki adalah masalah yang sifat menerka atau dapat berupa permainan namun tetap mengacu pada konsep dalam matematika.contoh:Aku adalah anggota bilangan Asli,aku adalah bilangan perkasa,jika kelipatannku dijumlahkan angka-angkanya hasilnya adalah aku,siapakah aku? Pemecahan masalah memerlukan strategi dalam menyelesaikannya.Kebenaran,ketepatan,keuletan dan kecepatan adalah suatu hal yang diperlukan dalam penyelesaian masalah.Keterampilan siswa dalam menyusun suatu strategi adalah suatu kemampuan yang harus dilihat oleh guru.Jawaban benar bukan standar ukur mutlak,namun proses yang lebih penting darimana siswa dapat mendapatkan jawaban tersebut.Variasi strategi yang diharapkan muncul dalam pembelajaran siswa SD

LOGIKA

Logika
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Filosofi


Cabang[tampilkan]
Zaman[tampilkan]
Tradisi[tampilkan]
Filsuf[tampilkan]
Sastra[tampilkan]
Daftar[tampilkan]


Le Penseur, atau "Sang Pemikir", oleh Auguste Rodin, 1902.
Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika adalah salah satu cabang filsafat.
Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur[1].
Ilmu disini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.
Daftar isi
[sembunyikan]
1 Logika sebagai ilmu pengetahuan
2 Logika sebagai cabang filsafat
3 Dasar-dasar Logika
4 Sejarah Logika
4.1 Masa Yunani Kuno
4.2 Abad pertengahan dan logika modern [2]
5 Logika sebagai matematika murni
6 Kegunaan logika
7 Macam-macam logika
7.1 Logika alamiah
7.2 Logika ilmiah
8 Referensi
9 Pranala luar

Logika sebagai ilmu pengetahuan

Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah berpikir (khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya.
[sunting] Logika sebagai cabang filsafat
Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapat dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.
Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafat di Yunani. Dalam usaha untuk memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan kesesatan penalarannya.
Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika. logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran
[sunting] Dasar-dasar Logika
Konsep bentuk logis adalah inti dari logika. Konsep itu menyatakan bahwa kesahihan (validitas) sebuah argumen ditentukan oleh bentuk logisnya, bukan oleh isinya. Dalam hal ini logika menjadi alat untuk menganalisis argumen, yakni hubungan antara kesimpulan dan bukti atau bukti-bukti yang diberikan (premis). Logika silogistik tradisional Aristoteles dan logika simbolik modern adalah contoh-contoh dari logika formal.
Dasar penalaran dalam logika ada dua, yakni deduktif dan induktif. Penalaran deduktif—kadang disebut logika deduktif—adalah penalaran yang membangun atau mengevaluasi argumen deduktif. Argumen dinyatakan deduktif jika kebenaran dari kesimpulan ditarik atau merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah. Sebuah argumen deduktif dinyatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya.
Contoh argumen deduktif:
1.Setiap mamalia punya sebuah jantung
2.Semua kuda adalah mamalia
3.Setiap kuda punya sebuah jantung

Penalaran induktif—kadang disebut logika induktif—adalah penalaran yang berangkat dari serangkaian fakta-fakta khusus untuk mencapai kesimpulan umum.
Contoh argumen induktif:
1.Kuda Sumba punya sebuah jantung
2.Kuda Australia punya sebuah jantung
3.Kuda Amerika punya sebuah jantung
4.Kuda Inggris punya sebuah jantung
5. ...
6.Setiap kuda punya sebuah jantung
Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa ciri utama yang membedakan penalaran induktif dan deduktif.
Deduktif Induktif
Jika semua premis benar maka kesimpulan pasti benar Jika premis benar, kesimpulan mungkin benar, tapi tak pasti benar.
Semua informasi atau fakta pada kesimpulan sudah ada, sekurangnya secara implisit, dalam premis. Kesimpulan memuat informasi yang tak ada, bahkan secara implisit, dalam premis.
[sunting] Sejarah Logika
[sunting] Masa Yunani Kuno
Logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.
Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif.
Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu.
Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:
•Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan (karena tanpa air tumbuhan mati)
•Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia
•Air jugalah uap
•Air jugalah es
Jadi, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta.
Sejak saat Thales sang filsuf mengenalkan pernyataannya, logika telah mulai dikembangkan. Kaum Sofis beserta Plato (427 SM-347 SM) juga telah merintis dan memberikan saran-saran dalam bidang ini.
Pada masa Aristoteles logika masih disebut dengan analitica , yang secara khusus meneliti berbagai argumentasi yang berangkat dari proposisi yang benar, dan dialektika yang secara khusus meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi yang masih diragukan kebenarannya. Inti dari logika Aristoteles adalah silogisme.
Buku Aristoteles to Oraganon (alat) berjumlah enam, yaitu:
1.Categoriae menguraikan pengertian-pengertian
2.De interpretatione tentang keputusan-keputusan
3.Analytica Posteriora tentang pembuktian.
4.Analytica Priora tentang Silogisme.
5.Topica tentang argumentasi dan metode berdebat.
6.De sohisticis elenchis tentang kesesatan dan kekeliruan berpikir.
Pada 370 SM - 288 SM Theophrastus, murid Aristoteles yang menjadi pemimpin Lyceum, melanjutkan pengembangn logika.
Istilah logika untuk pertama kalinya dikenalkan oleh Zeno dari Citium 334 SM - 226 SM pelopor Kaum Stoa. Sistematisasi logika terjadi pada masa Galenus (130 M - 201 M) dan Sextus Empiricus 200 M, dua orang dokter medis yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.
Porohyus (232 - 305) membuat suatu pengantar (eisagoge) pada Categoriae, salah satu buku Aristoteles.
Boethius (480-524) menerjemahkan Eisagoge Porphyrius ke dalam bahasa Latin dan menambahkan komentar- komentarnya.
Johanes Damascenus (674 - 749) menerbitkan Fons Scienteae.
[sunting] Abad pertengahan dan logika modern [2]
Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.
Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika.
Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti:
• Petrus Hispanus (1210 - 1278)
• Roger Bacon (1214-1292)
• Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian.
• William Ocham (1295 - 1349)
Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding
Francis Bacon (1561 - 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum.
J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic
Lalu logika diperkaya dengan hadirnya pelopor-pelopor logika simbolik seperti:
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan Ars Magna dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan akal budi dan lebih mempertajam kepastian.
• George Boole (1815-1864)
• John Venn (1834-1923)
• Gottlob Frege (1848 - 1925)
Lalu Chares Sanders Peirce (1839-1914), seorang filsuf Amerika Serikat yang pernah mengajar di John Hopkins University,melengkapi logika simbolik dengan karya-karya tulisnya. Ia memperkenalkan dalil Peirce (Peirce's Law) yang menafsirkan logika selaku teori umum mengenai tanda (general theory of signs)
Puncak kejayaan logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).
Logika simbolik lalu diteruskan oleh Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Rudolf Carnap (1891-1970), Kurt Godel (1906-1978), dan lain-lain.
[sunting] Logika sebagai matematika murni
Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.
Puncak logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).
[sunting] Kegunaan logika
1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
7. Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )
8. Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.
[sunting] Macam-macam logika
[sunting] Logika alamiah
Logika alamiah adalah kinerja akal budi manusia yang berpikir secara tepat dan lurus sebelum dipengaruhi oleh keinginan-keinginan dan kecenderungan-kecenderungan yang subyektif. Kemampuan logika alamiah manusia ada sejak lahir.
[sunting] Logika ilmiah
Logika ilmiah memperhalus, mempertajam pikiran serta akal budi.
Logika ilmiah menjadi ilmu khusus yang merumuskan azas-azas yang harus ditepati dalam setiap pemikiran. Berkat pertolongan logika ilmiah inilah akal budi dapat bekerja dengan lebih tepat, lebih teliti, lebih mudah dan lebih aman. Logika ilmiah dimaksudkan untuk menghindarkan kesesatan atau, paling tidak, dikurangi.
[sunting] Referensi
1. ^ Pengantar Logika. Asas-asas penalaran sistematis. Oleh Jan Hendrik Rapar. Penerbit Kanisius. ISBN 979-497-676-8
2. ^ Logika Selayang Pandang. Oleh Alex Lanur OFM. Penerbit Kanisius 1983. ISBN 979-413-124-5
[sunting] Pranala luar